Cuánta luz cabe en un píxel

La luz no llega de manera continua, sino en fotones, de a uno y al azar. Si un píxel recibe en promedio λ fotones por segundo, la cantidad que cae en un intervalo t sigue la distribución de probabilidad llamada de Poisson, de media λ·t, y la desviación de la misma es √(λ·t), es decir, lo que llamamos ruido de disparo. En el libro comparamos tal fenómeno con una lluvia tenue, en la cual no es posible saber dónde caerá la próxima gota.

Cada fotón que el silicio absorbe libera un electrón, lo cual constituye el fenómeno llamado efecto fotoeléctrico. En luz visible, un fotón libera un solo electrón, y solo con la radiación ultravioleta de onda corta o con los rayos X puede liberar más de uno. Por ende, el laboratorio cuenta un electrón por fotón, cuestión a la cual volvemos en la sección 11.

La física del laboratorio cuenta cada electrón. La escena, en cambio, dibuja cada fotón mientras llegan pocos, y cuando llegan muchos, cada destello representa un paquete, cuya cifra ("cada destello: 100 fotones") se muestra en el escenario, de modo que las cuentas son exactas en los dos casos y solo cambia la manera de dibujarlas.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, págs. 69–70 · cap. 3, pág. 104 · cap. 5, pág. 190 · cap. 8, pág. 331.

En su camino hacia el pozo, cada fotón atraviesa las distintas capas del píxel, y en cada una de las mismas el laboratorio sortea su destino:

1. Microlente: la pequeña lente que corona el píxel concentra el fotón hacia el fotodiodo. En ella no se pierde fotón alguno.
2. Filtro de Bayer, solo en las cámaras color: con el modelo binario que presentamos en el libro como primera aproximación, el filtro R deja pasar las bandas R y Hα, el filtro G, las bandas G y OIII, y el filtro B, las bandas B y OIII. Lo demás es absorbido por el filtro.
3. Cableado: en un sensor de iluminación frontal, o FSI, se encuentra entre el filtro y el silicio, y bloquea el 25 % de los fotones que atraviesan el filtro. En un sensor retroiluminado, o BSI, el mismo queda detrás del silicio y no bloquea fotón alguno.
4. Silicio: absorbe el fotón y libera un electrón con una probabilidad η = 0,80. Cuando esto no ocurre, el fotón se pierde, es decir, atraviesa el silicio o se refleja en él.

e⁻/s = φ · T_filtro · (1 − f_c) · η    QE = η · (1 − f_c)

Con tales valores, la eficiencia cuántica es del 80 % en un sensor BSI y del 60 % en uno FSI, y es la misma en todas las longitudes de onda. Advertimos que la curva real varía con la longitud de onda, y que el laboratorio la toma plana para que las cifras puedan seguirse con facilidad. Dado que cada fotón va al azar a uno de cuatro destinos, esto es, el filtro, el cableado, el silicio o el pozo, la cantidad que llega a cada destino es, a su vez, una variable de Poisson independiente, la cual el laboratorio sortea directamente.

De dónde viene la luz. El laboratorio considera cuatro fuentes, cuyas cifras se expresan en fotones por segundo en cada píxel:

• Cielo: parejo en todo el recorte y calculado como en el laboratorio de SNR, esto es, 5 · 10^{−0,4 (m − 18,15)} e⁻/s en un sensor mono BSI, donde m es la magnitud por segundo de arco cuadrado de cada clase de la escala de Bortle. En banda ancha, la luz del cielo se reparte en tercios entre R, G y B, mientras que con un filtro dual pasa solo el 3 % de la misma.
• Nebulosa: de emisión. Sus líneas Hα y OIII llegan con filtro o sin él, y en banda ancha se suma, además, el resto de su luz como un continuo. En una cámara color, el Hα solo pasa por los filtros rojos, de modo que, en una nebulosa de emisión, la pérdida que produce la matriz de Bayer es mayor que en una fuente de banda ancha.
• Estrella: con un perfil gaussiano de FWHM 2 px, centrado en la esquina de los cuatro píxeles centrales, cada uno de los cuales recibe el 14,5 % de su luz. Su color es el de un cuerpo negro de 3.500, 5.800 o 10.000 K.
• Corriente oscura: 0,002 e⁻/s por píxel, electrones que nacen en el silicio por efecto de la temperatura, sin que medie fotón alguno.

El flujo del fondo de un cielo en particular puede calcularse con otra herramienta del sitio, el calculador del flujo de fotones del fondo de cielo.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, págs. 59–60 (eficiencia cuántica), 75–78 (Bayer), 79 (microlente) y 80 (FSI y BSI) · cap. 5, págs. 195 y 205.

Cada píxel del sensor cuenta con un pozo de potencial, es decir, con una región del silicio donde se acumulan los electrones que, como vimos en la sección 1, liberan los fotones, y la capacidad del mismo tiene un límite. Llamamos Full Well, o capacidad de acumulación, a la cantidad máxima de electrones que tal pozo puede retener, y de allí proviene también la expresión "profundidad de pozo", que designa ese mismo valor. En el libro proponemos, para pensar esta noción, la imagen de un balde colocado bajo una lluvia tenue de fotones.

N ≤ FW    t_lleno = FW_ef / λ

Veamos lo que ocurre en la configuración de referencia, la cual combina un cielo de clase 7 en la escala de Bortle con un Full Well de 60.000 e⁻. El núcleo de la estrella recibe 1.005,5 e⁻/s y llena su pozo en 59,7 s, mientras que un píxel del fondo, iluminado solo por el cielo y la nebulosa, recibe apenas 5,5 e⁻/s y tardaría 10.905 s, unas tres horas, en llenar el suyo. Esto implica que, en la fotografía de cielo profundo, el pozo no lo llenan el fondo ni la nebulosa, sino las estrellas brillantes, dado que concentran su luz en muy pocos píxeles, de modo que la saturación se manifiesta primero en ellas.

Un píxel saturado pierde la relación de intensidad con sus vecinos, y su valor no dice ya cuánta luz recibió, sino solamente que llegó al tope de lo que podía acumular. En una cámara color, además, el núcleo de la estrella pierde su color, porque cada canal se llena a su propio ritmo. Con la estrella de color solar, el canal rojo se llena a los 164 s, el verde a los 170 s y el azul a los 210 s, y entre esos momentos el color del núcleo se desplaza progresivamente hasta quedar blanco.

Debemos aclarar que nuestro modelo responde en forma enteramente lineal hasta el Full Well, lo cual es una simplificación deliberada. Los sensores reales, en cambio, pierden linealidad a medida que se acercan al tope, y por ende en el libro recomendamos exponer los flats al 30–40 % del rango y siempre por debajo del 70 %.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, págs. 55–56 y 62 · cap. 3, págs. 105 y 109 · cap. 9, pág. 357.

Cuando llega carga a un pozo que ya está lleno, el exceso de la misma tiene dos destinos posibles:

• Con antiblooming, que es como arranca el laboratorio, el exceso se va por un canal de drenaje y se cuenta como carga drenada.
• Sin antiblooming, el exceso pasa a los píxeles vecinos, y en el laboratorio lo hace mitad hacia arriba y mitad hacia abajo por la columna, avanzando mientras encuentre pozos llenos. La carga que sale del recorte se pierde, y el laboratorio la cuenta como perdida. En el libro decimos que los electrones se desbordan "a los píxeles vecinos". La columna, por su parte, es la forma típica del fenómeno llamado blooming en un sensor CCD, y la dirección que tomamos es una elección declarada del modelo.

En los dos casos la carga se conserva: lo que entró es igual a lo almacenado, más lo drenado, más lo perdido. El fenómeno llamado smear, es decir, las rayas verticales que aparecen durante la lectura, sobre todo en los sensores CCD, queda fuera del modelo.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, págs. 82–83.

Al cerrarse el subframe, el laboratorio lee la carga del modo en que lo hace un sensor CMOS: fila por fila, el amplificador de cada píxel transforma la carga del mismo en un voltaje, y la señal baja por la línea de su columna hasta el conversor analógico-digital, o conversor A/D, de tal columna. De este modo, la carga no viaja. En un sensor CCD, en cambio, es la carga misma la que se desplaza fila por fila hasta un único amplificador, ubicado en una esquina del sensor.

ADU = mín(ADU_máx, máx(0, O + redondeo((N + R·z) / K)))

• Offset O: 1/64 de la escala, es decir, 64, 256 o 1.024 ADU con 12, 14 o 16 bits. Su función es evitar que el ruido lleve los valores por debajo de cero.
• Ganancia: un factor A sobre la ganancia mínima, que es aquella con la cual el conversor cubre exactamente el Full Well: K_mín = FW / (ADU_máx − O) y K = K_mín / A electrones por ADU. Llamamos ganancia unitaria a la que da K = 1.
• Ruido de lectura R: se suma en cada lectura (z es un valor al azar de una distribución normal estándar) y no cambia con la ganancia. El que mide un análisis de los subframes de bias incluye, además, la cuantización: R_ef = √(R² + K²/12).
• Full Well efectivo: FW_ef = mín(FW, (ADU_máx − O)·K) = FW / A. Con ganancia ×4, el conversor llega a su tope con 15.000 e⁻, aunque el pozo siga juntando carga hasta los 60.000. Esto implica que lo que hay por encima de ese valor existe en el silicio, pero no llega al archivo.

Hay dos saturaciones, y cada una tiene su nombre: pozo lleno (N = FW, marca ●) y conversor al tope (ADU = ADU_máx, marca ▲). El histograma del subframe completo lleva marcas en el offset, en la franja del 30–40 % propia de los flats, en el 70 % y en el tope.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, págs. 50–53 · cap. 3, págs. 100–105 y 116 · cap. 5, págs. 190–193.

El rango dinámico compara lo más brillante que un píxel puede registrar con lo más débil que puede distinguirse del ruido de lectura, y se expresa de las siguientes maneras:

RD_sensor = FW / R    RD_cámara = FW_ef / R_ef    dB = 20 · log₁₀ RD    pasos = log₂ RD

Con 60.000 e⁻ y 1,5 e⁻, el sensor tiene un rango de 40.000, es decir, 92 dB o 15,3 pasos. Los bits no crean rango dinámico, sino que lo recortan cuando no alcanzan para cubrirlo: con 12 bits, la cuantización lleva el ruido de lectura efectivo a 4,55 e⁻, y el rango de la cámara baja a 82,4 dB. La ganancia alta también lo reduce, porque, como ya mencionamos, disminuye el Full Well efectivo.

Por otro lado, el Full Well le pone un techo al SNR de un subframe. Con el pozo lleno, el mejor valor posible es

SNR_máx = FW_ef / √(FW_ef + R_ef²) ≈ √FW_ef

unos 245 con 60.000 e⁻. Superar tal valor exige apilar subframes, cuestión que desarrollamos en el capítulo 9 del libro y que muestra el laboratorio El doble de SNR, el cuádruple de tiempo.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, págs. 55–56 · cap. 3, pág. 116 · cap. 9, pág. 357.

La duración del subframe queda comprendida entre dos límites, los cuales consideramos a continuación.

Abajo, el tiempo óptimo. Con la expresión conocida como fórmula de Glover, que desarrollamos en el capítulo 8 del libro, el subframe debe durar lo suficiente para que el ruido de disparo del fondo, √(P·t), reduzca el peso del ruido de lectura a un mínimo tolerable. Con una tolerancia del 5 % de ruido extra (C = 10), la fórmula es la siguiente:

t_ópt = C · R_ef² / P

P es la tasa de electrones del cielo en el píxel de menor fondo de la celda 2×2, que es el criterio del laboratorio de SNR. Este laboratorio, en cambio, usa el ruido de lectura efectivo, el cual incluye la cuantización. Con 16 bits, el tiempo óptimo es de 4,64 s en Bortle 7, donde SNR, que no modela el conversor, da 4,5 s, mientras que con 12 bits llega a 41 s. En el libro recomendamos no exponer nunca menos que el óptimo y quedarse entre tal valor y el doble del mismo, que es la franja marcada en el deslizador del subframe.

Arriba, el primer píxel que se llena. Si el subframe dura más, ese píxel satura. Advertimos, además, que los objetos muy brillantes pueden saturar antes del tiempo óptimo, en cuyo caso no hay ventana alguna, y la página lo avisa.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 1, pág. 37 · cap. 8, págs. 336, 344–350 y 353.

Adoptamos una configuración genérica, sin marca de cámara alguna, con los mismos valores de referencia que el laboratorio de SNR:

Recorte	6 × 6 píxeles
Full Well	60.000 e⁻ (regulable de 10.000 a 150.000), el ejemplo del libro
Eficiencia cuántica	BSI 80 % y FSI 60 % (silicio 80 % y cableado que bloquea el 25 %)
Ruido de lectura	1,5 e⁻ (1,0 / 1,5 / 3,0 / 8,0)
Corriente oscura	0,002 e⁻/s
Cielo	Bortle 7: 5 e⁻/s por píxel en mono BSI
Nebulosa	0,5 e⁻/s en banda ancha (mono BSI), y con filtro dual, Hα 0,1225 más OIII 0,0525
Estrella	1.000 e⁻/s en cada píxel central (mono BSI, banda ancha), FWHM 2 px y color solar
Filtro dual sobre un continuo	3 %, mitad en Hα y mitad en OIII
Conversor	16 bits, offset de 1/64 de la escala, ganancia mínima
Tolerancia de Glover	C = 10

El recorte de la escena es una zona de 6 × 6 píxeles del subframe completo, es decir, de una imagen de 512 × 512 píxeles simulada con el mismo modelo y la misma lectura, que contiene la nebulosa del laboratorio de SNR, 640 estrellas y el cielo parejo. El recorte de referencia, que es aquel del cual provienen las cifras de estas secciones, tiene la nebulosa pareja en su nivel de referencia y la estrella más brillante centrada, lo cual constituye una idealización, al igual que la zona de referencia de SNR. Al mover el recuadro, el recorte pasa a recibir la luz de la zona elegida, píxel por píxel.

La imagen del subframe completo se muestra sin el nivel del cielo y con un estiramiento fijo, más suave que el de SNR, dado que se trata de un solo subframe y no de un apilado. En una cámara color, cada píxel conserva el valor de su filtro, y los otros dos colores surgen de promediar los valores de sus vecinos, mediante la interpolación llamada debayerizado bilineal.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 2, pág. 62.

La escena dibuja algunas cosas que no deben tomarse de manera literal, las cuales declaramos a continuación:

• Los fotones se dibujan como destellos que caen, aunque en realidad no tienen una trayectoria visible ni un tamaño a esta escala.
• El pozo se dibuja como un recipiente que se llena de carga luminosa, pero en verdad es una región de potencial eléctrico en el silicio, y de allí provienen las expresiones "pozo de potencial" y full well.
• El silicio se dibuja translúcido, para que pueda verse el pozo por dentro, mientras que el silicio real es opaco.
• Las microlentes y los filtros se dibujan con reflejos, pero sin desviar la luz que los atraviesa, de modo que la lluvia de fotones pueda verse a través de los mismos.
• Las alturas de las capas están exageradas, para que puedan distinguirse con claridad.
• El destello de absorción aparece más arriba para el azul y más abajo para el rojo, como ocurre en el silicio real, aunque las profundidades no están a escala.
• En la lectura, la señal se dibuja como un pulso de luz que baja por la columna, cuando lo que baja es, en realidad, un voltaje.
• Cuando llegan muchos fotones por segundo, cada destello representa un paquete de fotones, cuya cifra se muestra en el escenario.
• El tiempo corre acelerado, y el reloj del subframe muestra el tiempo simulado. La cámara lenta, por su parte, solo frena la animación, dado que los fotones reales viajan todos a la misma velocidad.
• Los rayos cósmicos llegan con una frecuencia exagerada: uno cada 30 s en el recorte, contra uno cada varios meses en la realidad.

El modelo deja de lado, a propósito, los siguientes aspectos del sensor, a los cuales nos referimos en el capítulo 5 del libro:

• El ruido de patrón fijo, los píxeles calientes, el amp glow, el walking noise y las diferencias de respuesta entre píxeles (PRNU).
• La pérdida de linealidad cerca del tope y el smear, que solo se explican.
• La curva de eficiencia cuántica según la longitud de onda y el solapamiento de los filtros de Bayer.
• La dependencia de la corriente oscura con la temperatura y la del ruido de lectura con la ganancia.
• La diafonía entre píxeles, el ángulo de incidencia en las microlentes y el debayerizado, salvo el que colorea la imagen del subframe completo.

Libro Los 7 pilares de la astrofotografía, cap. 5, págs. 187–205.

El laboratorio pone en movimiento lo que explicamos en el libro. En algunos pasajes, sin embargo, el modelo necesita una precisión que el texto, dado su alcance, no desarrolla, y que consignamos a continuación:

• Electrones por fotón (cap. 3, pág. 104). Al describir el camino de la señal, el texto dice que cada fotón genera "uno o más electrones". En luz visible, en cambio, es uno por fotón absorbido, y solo con la radiación ultravioleta de onda corta o con los rayos X puede ser más de uno.
• Rango dinámico y bits (cap. 2, pág. 55 · cap. 3, pág. 116). En el libro relacionamos el rango dinámico con la profundidad de bits. En el laboratorio, el mismo es el cociente entre el Full Well y el ruido de lectura, y los bits solo lo recortan cuando no alcanzan para cubrirlo.
• Ruido de lectura (cap. 5, pág. 193). El texto dice que el ruido electrónico aleatorio aumenta con la raíz cuadrada de la señal. En el modelo, al igual que en SNR, el ruido de lectura es constante en cada lectura, y lo que crece con la raíz cuadrada de la señal no es el ruido de lectura, sino el ruido de disparo.
• Ganancia (cap. 5, págs. 190–192). En el libro decimos que subir la ganancia aumenta la sensibilidad y el ruido. En el modelo, la ganancia no cambia cuántos electrones se juntan, lo cual depende de la eficiencia cuántica, sino cuántos electrones vale cada ADU. Esto implica que en ADU todo se ve más grande, ruido incluido, mientras que en electrones nada cambia. Con ganancia alta, en cambio, se pierden Full Well efectivo y rango dinámico, y en los sensores CMOS, además, el ruido de lectura en electrones suele bajar.
• Rayos cósmicos (cap. 5, pág. 203). El texto dice que son sobre todo protones, lo cual vale en el espacio. En la superficie, en cambio, lo que llega al sensor son sobre todo muones, es decir, partículas de las cascadas que los rayos cósmicos producen en la atmósfera.
• Matriz de Bayer (cap. 2, págs. 76–78). El laboratorio usa el modelo binario, que en el libro presentamos como primera aproximación. En el mismo libro explicamos que el solapamiento de los filtros acerca la pérdida real al 50 % en una fuente de banda ancha, y que en una nebulosa de emisión tal pérdida es mayor.